使用指南北理工团队首次实现三维静力学拓扑绝缘体

近日，北京理工大学姚裕贵教授、李锋教授和周迪研究员团队在三维空间中首次实现了极化的拓扑力学绝缘体，其上边界具有拓扑刚性，而下边界具有拓扑柔性。即使把材料从中间切开、一劈为二，那么新产生的两片材料的上下边界，将依然展示出这种“上硬、下软”的强非对称刚度，该体系被称之为极化“静力学拓扑绝缘体”。该成果发表于《物理评论快报》（Physical Review Letters）上。

自二十世纪八十年代开始，拓扑绝缘体成为了凝聚态物理的重点研究方向之一。2014年，美国科学院院士Charles Kane 和Tom Lubensky成功将拓扑绝缘体的概念推广到准静态力学系统中，建立了以等静定结构为主要研究对象的静力学拓扑绝缘体。由拓扑极化矢量表征的静力学拓扑绝缘体在其表面上存在着被称为力学软模(mechanical floppy mode)和自应力 (state of self-stress)的边缘模式，展现出零频率(无损耗)、抗干扰、抗缺陷等优异性质。此外更加有趣的是，在静力学拓扑绝缘体中，力学软模可以被完全局域在某个开放表面，而反方向开边界则完全没有力学软模，使材料表面展现出高度不对称弹性：一侧开放边界异常柔软，另一侧极其坚硬，且平行开放边界间的软硬刚度差异可超过千倍。这一等静定结构所展现的“上硬、下软”力学状态也因此被称为“拓扑完全极化”状态。与其他同样由极化矢量所描述的拓扑绝缘体一样，完全极化的静力学材料具有拓扑稳定性：即便把材料一分为二，新产生的两个力学结构仍会表现出上硬下软的力学极化行为。

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一维和二维的等静定结构很容易通过调整几何参数来实现完全极化的拓扑力学，然而在三维等静定结构中，广泛存在的外尔线(Weyl lines)会破坏力学结构的拓扑极化性质。由于外尔线本身也具有拓扑稳定性而极难去除，所以在理论上寻找静力学拓扑绝缘体是非常困难的。

北京理工大学团队提出了力学转移矩阵方法(mechanical transfer matrix)，通过分别研究各个力学软模在空间上的传递行为，建立了各个力学软模与结构的几何参数之间直接的联系，使得通过调整参数令所有力学软模局域于结构某一特定表面成为可能。基于这一理论创新，该团队设计并3D打印了一个拓扑完全极化的广义焦绿石晶格(generalized pyrochlore lattice)。该团队创新性地采用了可自由转动的球形铰链(如图1c所示) 来消除晶格连接处的弯曲刚度，以此保证3D打印出的广义焦绿石晶格是一个理想的等静定结构。广义焦绿石晶格的原胞由两个3D打印的四面体组成，四面体的每个顶点都有一个球形铰链。在图1(d)中，白色四面体的A、B、C、D顶点与绿色四面体的A′、B′、C′、D′顶点相连，使得相邻四面体之间可以自由旋转。

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图1 三维完全极化静力学拓扑绝缘体的设计原理。(a)-(b)正规焦绿石晶格和广义焦绿石晶格的原胞。 (c) 白色和绿色刚体分别表示组成广义焦绿石晶格原胞的底部四面体和顶部四面体。 (d) 组装后的三维完全极化静力学拓扑绝缘体。

该团队利用整体剪切变形模式，能够在不重新组装晶格模型的情况下改变晶格的几何参数，进而使得3D打印的广义焦绿石晶格可以简便地在完全拓扑极化相和外尔相之间相互转变。图2 (a,c,e)展示了广义焦绿石晶格在一个整体剪切模式中达到的三种不同拓扑相，分别是完全拓扑极化相(a)、具有两条外尔线的外尔相(c)和具有四条外尔线的外尔相(e)。如图2(b)所示，完全拓扑极化相在整个布里渊区具有相同的拓扑极化矢量，与此相对的，外尔相的拓扑极化矢量则依赖于具体的布里渊区中波矢的选择。

图2 由整体剪切模式得到的三种广义焦绿石晶格构型中的外尔线以及相应的拓扑极化矢量分布。

该团队对广义焦绿石晶格进行了关于表面力学的数值仿真。图3(a)表明晶格上下表面的刚度之比在晶格从完全拓扑极化相转变为外尔相的过程中快速降低。在图3(b)中，θ=0°的完全拓扑极化相在点外力的作用下展现出强烈不对称的表面力学响应。图3(c)则展示了完全拓扑极化的力学软模与外尔相中的外尔软模在空间分布上的明显差别，前者局域于晶格的某一侧边界，后者则贯穿了整个晶格。

图3 在水平方向周期边界和垂直方向开放边界条件下，关于广义焦绿石晶格的表面力学数值模拟。(a) 在一个由5×5×8原胞组成的晶格中，随着盖斯特整体剪切模式转角θ的变化，顶部和底部开放表面的局部刚度。不同的背景颜色表示不同的拓扑相，图a中的数字0、2和4分别表示拓扑完全极化、2条外尔线的外尔相和4条外尔线的外尔相。

实验上，该团队对3D打印的广义焦绿石晶格进行了力-位移测量，图4(c, d)分别展示了θ="0°的完全拓扑极化相和θ=45°的外尔相的力-位移曲线。有别于外尔相上下表面近乎相同的力-位移曲线，完全拓扑极化的晶格，其上下表面的力-位移曲线展现出了显著的差异，表明力学软模只局域于晶格底部，晶格上表面则因此具有拓扑保护的刚度。

该团队据此设计了一个三维的“免充气拓扑轮胎”，如图4(f,g)所示，广义焦绿石晶格被嵌入一个圆柱体中，表现为一个多空的免充气轮胎，并且能够有效地吸收来自崎岖地形的冲击。另外，完全拓扑极化相和外尔相这两种在刚度表现上具有强烈对比的拓扑相，可以通过整体剪切模式进行简便地切换。基于这一性质可以设计出在不同场景中表现出不同的刚度性质的材料，例如图4(e)中所示的无人机起落架，着落过程中材料可以切换为刚度较低的外尔相，有效地吸收冲击；在飞行过程中则可以切换为完全拓扑极化相，提升无人机外部的刚度来增加稳定性。

图4 3D打印的广义焦绿石晶格的实验测量。(a)-(b)分别为拓扑完全极化相和外尔相的力-位移曲线的测量结果。(c) 广义焦绿石晶格构成的多孔拓扑轮胎。(d) 数值分析在崎岖地形上滚动时拓扑轮胎的力学响应。(e) 无人机可重构的弹性拓扑起落架。

本研究在理论上和实验上证明了三维静力学拓扑绝缘体的完全极化相，全部局域于某一边界的力学软模表明拓扑完全极化相没有力学外尔线。这一力学成就类似于电子系统中三维拓扑绝缘体的发现。三维的完全拓扑极化相为二维晶格中不可能实现的物理现象铺平了道路，例如高阶拓扑静力学软模、拓扑力学隐身和全空间维度的静力学非互易性。